蒙特卡罗方法估算圆周率

📖 工具说明

1. 核心数学原理

蒙特卡罗方法（Monte Carlo method）是一种以概率统计理论为指导的数值计算方法：

• 几何模型：假设一个边长为 $2r$ 的正方形内切一个半径为 $r$ 的圆。

• 面积比值：

  • 圆的面积：$A_{circle} = \pi r^2$
  • 正方形面积：$A_{square} = (2r)^2 = 4r^2$
  • 比值关系：$\frac{A_{circle}}{A_{square}} = \frac{\pi}{4}$

• 估算公式：

  当我们随机投掷 $N$ 个点时，落在圆内的点数 $N_{in}$ 与总点数 $N$ 的比值将趋近于面积之比。因此：

  $$\pi \approx 4 \times \frac{N_{in}}{N}$$

2. 核心功能解析

本站工具通过高性能的 JavaScript 随机引擎，为您提供实时的动态仿真体验：

A. 动态图形渲染 (Real-time Simulation)

• 可视化投点：实时展示每一个采样点在坐标系中的位置，落在圆内的点（通常为红色）与圆外的点（通常为蓝色）对比鲜明。
• 极速模拟：支持从每秒 10 个点到每秒 10,000 个点的模拟速度切换，让您感受“样本量”对精度的影响。

B. 实时精度追踪

• 误差计算：自动对比估算值与标准值（$3.1415926...$）之间的绝对误差与百分比误差。
• 收敛曲线图：同步生成波动图表，展示随着采样总数 $N$ 的增加，估算值是如何逐渐平稳并趋近于 $\pi$ 的。

C. 采样规模自定义

• 支持设定总运行步数（如模拟 10 万次投掷后停止），方便进行定量科学观察。

D. 一键导出实验数据

• 支持将模拟结果（总点数、圆内点数、估算值、误差）导出为文本或图片，方便用于教学报告或学术演示。

3. 操作流程简述

1. 设定频率：选择每秒投放点的数量（初次尝试建议选择中等速度以观察过程）。
2. 启动模拟：点击“开始采样”按钮，观察正方形区域逐渐被色彩斑斓的点填满。
3. 观察收敛：盯住下方的“当前 $\pi$ 估算值”面板。你会发现，刚开始数值跳动剧烈，随着点数破万，数值会趋于稳定。
4. 暂停与重置：随时可以暂停模拟以分析当前分布，或一键清空重新开始新的随机实验。

4. 实验观察指南

5. 为什么选择本站蒙特卡罗助手？

• 教学利器：枯燥的公式变为生动的图像，是数学课和编程课完美的教学辅助工具。
• 本地高性能计算：利用现代浏览器的 JIT 编译技术，本地每秒可处理数万次逻辑判定，不占用服务器资源。
• 100% 随机性保障：采用高质量随机数发生器，确保每一次投点的分布均匀、统计有效。
• 跨设备适配：无论是在教室大屏还是在手机上，都能获得丝滑的动画体验。

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